由于笔者学艺不精，下文写的东西就很 naive，如果您获得了不好的观看体验，或者觉得这东西不配放到 UOJ 里面，请在评论轻喷。

我们首先从一道数学题开始看起：

来源：2021年 AMC12 B卷 第25题

Let $d(n)$ denote the number of positive integers that divide $n$, including $1$ and $n$. For example, $d(1)=1$, $d(2)=2$, and $d(12)=6$. Let

$$f(n)={\displaystyle \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}}.$$

There is a unique positive integer $N$ such that $f(N)>f(n)$ for all positive integers $n\ne N$. What is the sum of the digits of $N$?

(A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 8

(E) 9

参考译文如下：

令 $d(n)$ 表示正整数 $n$ 的正约数（包括 $1$ 和 $n$）的个数。例如，$d(1)=1$，$d(2)=2$ 以及 $d(12)=6$。令 $f(n)={\displaystyle \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}}$。存在一个唯一的正整数 $N$，使得对于所有正整数 $n\ne N$，都有$f(N)>f(n)$。问 $N$ 的各位数字之和是多少？

是不是和标题很像？我们先考虑解决这个问题。

看到 $d(n)$ 觉得它不好处理，能不能把它转换成好看点的初等形式呢？

我们很容易发现，$d(n)$（即约数函数）是一个积性函数，也就是说，对于 $a,b\in N^{+}$，若 $gcd(a,b)=1$，那么 $d(ab)=d(a)d(b)$。这一点学 OI 的同学应该可以十分迅速地发现。

然后 $g(n)=\sqrt[3]{n}$ 是一个完全积性函数，即 $\mathrm{\forall }a,b\in N^{+}$，都有 $g(ab)=g(a)g(b)$。

根据上述内容，$f(n)={\displaystyle \frac{d(n)}{g(n)}}$ 是一个积性函数。

我们对积性函数的性质稍作探索。我们将 $n$ 分解成它的质因数的积，也就是说，让 $n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}$，其中所有 $p$ 都两两不同，$k$ 是 $n$ 的不同的质因数个数。那么 $f(n)=\prod _{i=1}^{k}f(p_i^{a_i})$（根据积性函数的定义）。这个式子对于任意积性函数 $h(n)$ 都成立。

于是我们把考虑范围缩小为所有 $f(p^a)$。显然，$d(p^a)=a+1$，于是 $f(p^a)={\displaystyle \frac{a+1}{p^{\frac{a}{3}}}}$ 。

显然，只有那些大于 $1$ 的 $f(p^a)$ 才有讨论的意义，不然乘上这个 $f(p^a)$ 只会使最后结果的 $f(n)$ 变小。考虑范围进一步缩小，我们接下来来看看哪些 $f(p^a)$ 会大于 $1$。

我们把上面的 $f(p^a)={\displaystyle \frac{a+1}{p^{\frac{a}{3}}}}$ 再次变形成 $f(p^a)=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{p^a}}}$。于是 $f(p^a)\ge 1$ 当且仅当 ${\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{p^a}}\ge 1$，也就是说 $f(p^a)\ge 1$ 当且仅当 $(a+1{)}^3\ge p^a$ 。

我们固定 $a$来进行讨论。如果 $a=1$，手玩可得满足条件的 $p$ 只有 $2,3,5,7$；否则，满足条件的 $p$ 一定满足 $p\le {\log }_a(a+1{)}^3=3{\log }_a(a+1)$。此时 ${\log }_a(a+1)$ 一定在区间 $(1,2)$ 内，于是满足条件的 $p$ 只有 $2$、$3$ 和 $5$。

于是可能为 $N$ 的数只能是那些质因数只有 $2$、$3$、$5$、$7$ 的数。

其实接下来完全可以直接枚举指数就可以得出答案的，下面这一种方法只是用来娱乐一下各位的大脑的。

我们固定 $p$ 来讨论 $a$ 何时能使答案最大。令 $h(a)=f(p^a)$，那么 $h(a)>h(b)$ 当且仅当 ${\displaystyle \frac{(a+1{)}^3}{p^a}}>{\displaystyle \frac{(b+1{)}^3}{p^b}}$，两边同时对 $p$ 取对数可以得到上式等价于 $3{\log }_p(a+1)-a>3{\log }_p(b+1)-b$。再令 $u(a)=3{\log }_p(a+1)-a$，我们偷个懒，使用导数来找极值。${\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}a}}={\displaystyle \frac{3}{(a+1)\ln p}}-1$。容易发现它单调递减，于是 $u$ 是凸的且有最大值，推出 $h$ 有最大值。而使 $h$ 最大的 $a$ 的取值在 $u$ 的导函数与 $x$ 轴交点附近（因为 $a\in N^{+}$）。简单变形得极值点在 ${\displaystyle \frac{3}{\ln p}}-1$ 周围。

通过各种方法，我们可以算出来 $N=2^3\times 3^2\times 5^1\times 7^1=2520$，其各位数之和为 $9$。答案选择 E。

总体来说这道题并不是十分困难，我觉得任何一个有些数论功底和会一点点简单高数的高一学生（甚至初三学生）都能做出来。

可能你认为这些已经偏离了主题，但是不要忘记我们已经求出来了 $f(n)$ 在 $n=2520$ 时最大。我们经过计算，发现此时 $f(n)$ 约为 $3.53$。于是，我们可以认为 $d(n)$ 是 $O(\sqrt[3]{n})$ 级别的。

如果有错误或者疏漏之处，欢迎各位在评论区批评指正！Orz